2024年上海市高考數學試卷

一、填空題（本大題共12題，滿分54分．其中第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果．

1．（4分）設全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{2，4}，則＝         ．

2．（4分）已知，則f（3）＝            ．

3．（4分）已知x∈R，則不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集為            ．

4．（4分）已知f（x）＝x3+a，x∈R，且f（x）是奇函數，則a＝  ．

5．（4分）已知k∈R，＝（2，5），∥，則k的值為    ．

6．（4分）在（x+1）n的二項展開式中，若各項系數和為32，則x2項的系數為    ．

7．（5分）已知拋物線y2＝4x上有一點P到準線的距離為9，那么P到x軸的距離為             ．

8．（5分）某校舉辦科學競技比賽，有A、B、C3種題庫，A題庫有5000道題，B題庫有4000道題，C題庫有3000道題．小申已完成所有題，他A題庫的正確率是0.92，B題庫的正確率是0.86，C題庫的正確率是0.72．現他從所有的題中隨機選一題，正確率是                 ．

9．（5分）已知虛數z，其實部為1，且，則實數m為  ．

10．（5分）設集合A中的元素皆為無重復數字的三位正整數，且元素中任意兩者之積皆為偶數，求集合中元素個數的最大值     ．

11．（5分）已知點B在點C正北方向，點D在點C的正東方向，BC＝CD，存在點A滿足∠BAC＝16.5°，∠DAC＝37°，則∠BCA＝      ．（精確到0.1度）

12．（5分）無窮等比數列{an}滿足首項a1＞0，q＞1，記In＝{x﹣y|x，y∈[a1，a2]∪[an，an+1]}，若對任意正整數n，集合In是閉區間，則q的取值范圍是        ．

二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得滿分，否則一律得零分．

13．（4分）已知氣候溫度和海水表層溫度相關，且相關系數為正數，對此描述正確的是（　　）

A．氣候溫度高，海水表層溫度就高 

B．氣候溫度高，海水表層溫度就低 

C．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢 

D．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢

14．（4分）下列函數f（x）的最小正周期是2π的是（　　）

A．sinx+cosx B．sinxcosx 

C．sin2x+cos2x D．sin2x﹣cos2x

15．（5分）定義一個集合Ω，集合元素是空間內的點集，任取P1，P2，P3∈Ω，存在不全為0的實數λ1，λ2，λ3，使得．已知（1，0，0）∈Ω，則（0，0，1）?Ω的充分條件是（　　）

A．（0，0，0）∈Ω B．（﹣1，0，0）∈Ω 

C．（0，1，0）∈Ω D．（0，0，﹣1）∈Ω

16．（5分）已知函數f（x）的定義域為R，定義集合M＝{x0|x0∈R，x∈（﹣∞，x0），f（x）＜f（x0）}，在使得M＝[﹣1，1]的所有f（x）中，下列成立的是（　　）

A．存在f（x）是偶函數 

B．存在f（x）在x＝2處取最大值 

C．存在f（x）為嚴格增函數 

D．存在f（x）在x＝﹣1處取到極小值

三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟．

17．（14分）如圖為正四棱錐P﹣ABCD，O為底面ABCD的中心．

（1）若AP＝5，，求△POA繞PO旋轉一周形成的幾何體的體積；

（2）若AP＝AD，E為PB的中點，求直線BD與平面AEC所成角的大小．

18．（14分）已知f（x）＝logax（a＞0，a≠1）．

（1）若y＝f（x）過（4，2），求f（2x﹣2）＜f（x）的解集；

（2）存在x使得f（x+1）、f（ax）、f（x+2）成等差數列，求a的取值范圍．

19．（14分）為了解某地初中學生體育鍛煉時長與學業成績的關系，從該地區29000名學生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時長與學業成績的數據如下表所示：

（1）該地區29000名學生中體育鍛煉時長不少于1小時的人數約為多少？

（2）估計該地區初中學生日均體育鍛煉的時長（精確到0.1）．

（3）是否有95%的把握認為學業成績優秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關？

20．（18分）已知雙曲線Γ：＝1，（b＞0），左右頂點分別為A1，A2，過點M（﹣2，0）的直線l交雙曲線Γ于P、Q兩點，且點P在第一象限．

（1）當離心率e＝2時，求b的值；

（2）當，△MA2P為等腰三角形時，求點P的坐標；

（3）連接OQ并延長，交雙曲線Γ于點R，若，求b的取值范圍．

21．（18分）對于一個函數f（x）和一個點M（a，b），定義s（x）＝（x﹣a）2+（f（x）﹣b）2，若存在P（x0，f（x0）），使s（x0）是s（x）的最小值，則稱點P是函數f（x）到點M的“最近點”．

（1）對于（x＞0），求證：對于點M（0，0），存在點P，使得點P是f（x）到點M的“最近點”；

（2）對于f（x）＝ex，M（1，0），請判斷是否存在一個點P，它是f（x）到點M的“最近點”，且直線MP與f（x）在點P處的切線垂直；

（3）已知f（x）存在導函數f′（x），函數g（x）恒大于零，對于點M1（t﹣1，f（t）﹣g（t）），點M2（t+1，f（t）+g（t）），若對任意t∈R，存在點P同時是f（x）到點M1與點M2的“最近點”，試判斷f（x）的單調性．