高考解析幾何經典題型解析——向量與雙曲線的碰撞

典型例題：

平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩定點A（1，0），B（0，﹣1），動點P（x，y）滿足：\(\overrightarrow{OP} = m\overrightarrow{OA} + (m-1)\overrightarrow{OB} （m∈R）\)   

（1）求點P的軌跡方程；

（2）設點P的軌跡與雙曲線C：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}= 1（a＞0，b＞0）\)交于相異兩點M、N，若以MN為直徑的圓經過原點，且雙曲線C的虛軸長是實軸長的\sqrt2 倍，求雙曲線C的方程．

題型歸類與解題思路

本題屬于解析幾何綜合題，涉及以下核心知識點：

1. 向量線性運算與軌跡方程

通過向量表達式建立動點坐標關系，消參得軌跡方程。

2. 直線與雙曲線的位置關系

聯立方程求交點，利用韋達定理處理根與系數關系。

3. 幾何條件的代數化

將“以MN為直徑的圓過原點”轉化為向量垂直或坐標滿足的方程。

4. 雙曲線的幾何性質

根據實軸、虛軸比例關系確定參數。

通用解題步驟：

1. 軌跡方程：分解向量表達式為坐標，消去參數。

2. 聯立方程：直線與雙曲線聯立，應用韋達定理。

3. 代數轉化：幾何條件轉化為根與系數的方程。

4. 參數求解：結合雙曲線性質解方程，得出結果。

題目詳細解答

題目詳細解答 （1）求點P的軌跡方程 由題意，\(\overrightarrow{OP} = m\overrightarrow{OA} + (m-1)\overrightarrow{OB}\)，分解得： \[ \begin{cases} x = m \cdot 1 + (m-1) \cdot 0 = m \\ y = m \cdot 0 + (m-1) \cdot (-1) = -m + 1 \end{cases} \] 消去參數\(m\)，得軌跡方程： \[ y = -x + 1 \quad \text{或} \quad x + y = 1. \] （2）求雙曲線C的方程 Step 1：確定雙曲線參數關系 虛軸長是實軸長的\(\sqrt{2}\)倍，即\(2b = \sqrt{2} \cdot 2a \Rightarrow b = \sqrt{2}a\)，故雙曲線方程為： \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{2a^2} = 1. \] Step 2：聯立直線與雙曲線 將\(y = 1 - x\)代入雙曲線方程： \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{(1-x)^2}{2a^2} = 1 \implies 2x^2 - (1-2x+x^2) = 2a^2 \implies x^2 + 2x - (1+2a^2) = 0. \] 設根為\(x_1, x_2\)，由韋達定理： \[ x_1 + x_2 = -2, \quad x_1x_2 = -(1+2a^2). \] Step 3：應用幾何條件 以MN為直徑的圓過原點\(\Rightarrow OM \perp ON\)，即： \[ x_1x_2 + y_1y_2 = 0 \implies x_1x_2 + (1-x_1)(1-x_2) = 0. \] 展開并代入韋達定理： \[ 2x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = 0 \implies 2(-1-2a^2) - (-2) + 1 = 0 \implies a^2 = \frac{1}{4}. \] 故雙曲線方程為： \[ \frac{x^2}{\frac{1}{4}} - \frac{y^2}{\frac{1}{2}} = 1 \quad \text{或} \quad 4x^2 - 2y^2 = 1. \]