雙曲線點列構造中的遞推關系與幾何定值探秘

典型例題：

已知雙曲線C：4y²﹣x²＝m，點P1（﹣1，1）在C上．按如下方式構造點P_n（n≥2）：過點P_n﹣1作斜率為﹣1的直線與C的下支交于點Q_n﹣1，點Q_n﹣1關于x軸的對稱點為P_n，記點Pn的坐標為（x_n，y_n）．

（Ⅰ）求x₂，y₂的值；

（Ⅱ）記an＝2y_n+x_n，證明：數列{a_n}為等比數列；

（Ⅲ）記△P_nP_n+1P_n+2的面積為S_n，證明：S_n是定值．

題目類型與知識點定位:

本題屬于圓錐曲線與遞推數列綜合應用題型，核心知識點包括：

1. 雙曲線幾何性質：對稱性、漸近線方向對交點的影響

2. 代數幾何綜合：直線與雙曲線聯立求交點坐標

3. 遞推數列構造：通過幾何操作建立代數遞推關系

4. 定值問題證明：利用坐標法計算三角形面積并化簡

解題思路框架：

1. 幾何操作代數化：將作直線、取對稱點等步驟轉化為坐標運算

2. 遞推關系建立：通過參數分析建立相鄰點坐標關系式

3. 代數化簡技巧：利用對稱性簡化計算，尋找不變量

4. 定值證明策略：通過坐標行列式計算面積并化簡為常數

詳細解答:

(I)由題知雙曲線 $C: 4y^2 - x^2 = m$。點 $P_1(-1,1)$ 在 $C$ 上，故 $$ m = 4 \times 1^2 - (-1)^2 = 3 $$ 所以雙曲線 $C: 4y^2 - x^2 = 3$。又過點 $P_1$ 斜率為$-1$的直線方程為 $$ y = -x $$ 由雙曲線與直線的對稱性可知 $Q_1(1,-1)$，所以 $P_2(1,1)$，即 $$ x_2 = y_2 = 1 $$

(II)因為 $P_n(x_n, y_n)$，所以 $Q_{n-1}(x_n, -y_n)$。對 $P_{n-1}(x_{n-1}, y_{n-1})\ (n \geqslant 2)$，有 $$ k_{P_{n-1}Q_{n-1}} = \frac{y_{n-1} + y_n}{x_{n-1} - x_n} = -1 $$ 于是 $$ y_n + y_{n-1} = -(x_{n-1} - x_n) = x_n - x_{n-1} \quad \text{①} $$ 由于 $P_n \in C,\ P_{n-1} \in C$，故 $$ 4y_n^2 - x_n^2 = 3 \quad \text{且} \quad 4y_{n-1}^2 - x_{n-1}^2 = 3 $$ 兩式作差可得 $$ 4(y_n - y_{n-1})(y_n + y_{n-1}) = (x_n - x_{n-1})(x_n + x_{n-1}) \quad \text{②} $$ 將①代入②得 $$ 4(y_n - y_{n-1}) = x_n + x_{n-1} \quad \text{③} $$ 由③－①$\times 2$ 得 $$ 2y_n - 6y_{n-1} = -x_n + 3x_{n-1} $$ 由(II)知 $a_n = 2y_n + x_n = 3^{n-1}$，又 $$ 4y_n^2 - x_n^2 = 3 $$ 解得 $$ 2y_n - x_n = 3^{2-n} $$ 則 $$ x_n = \frac{1}{2}(3^{n-1} - 3^{2-n}), \quad y_n = \frac{1}{4}(3^{n-1} + 3^{2-n}) $$ 因為 $$ \overrightarrow{P_nP_{n+1}} = \left( x_{n+1} - x_n,\ y_{n+1} - y_n \right) = \left( 3^{n-1} + 3^{1-n},\ \frac{3^{n-1} - 3^{1-n}}{2} \right) $$ 且 $$ \overrightarrow{P_nP_{n+2}} = \left( x_{n+2} - x_n,\ y_{n+2} - y_n \right) = \left( 4(3^{n-1} + 3^{-n}),\ 2(3^{n-1} - 3^{-n}) \right) $$ 即 $$ 2y_n + x_n = 3(2y_{n-1} + x_{n-1}) \quad (n \geqslant 2) $$ 因為 $a_n = 2y_n + x_n$，所以 $a_n = 3a_{n-1}\ (n \geqslant 2)$，又 $a_1 = 2y_1 + x_1 = 1$，故 $$ \frac{a_n}{a_{n-1}} = 3 \quad (n \geq 2) $$ 因此數列$\{a_n\}$是首項為1、公比為3的等比數列。

(III)由(II)知 $a_n = 2y_n + x_n = 3^{n-1}$，又 $$ 4y_n^2 - x_n^2 = 3 $$ 解得 $$ 2y_n - x_n = 3^{2-n} $$ 則 $$ x_n = \frac{1}{2}(3^{n-1} - 3^{2-n}), \quad y_n = \frac{1}{4}(3^{n-1} + 3^{2-n}) $$ 因為 $$ \overrightarrow{P_nP_{n+1}} = \left( 3^{n-1} + 3^{1-n},\ \frac{3^{n-1} - 3^{1-n}}{2} \right) $$ 且 $$ \overrightarrow{P_nP_{n+2}} = \left( 4(3^{n-1} + 3^{-n}),\ 2(3^{n-1} - 3^{-n}) \right) $$ 所以 $$ S_n = \frac{1}{2} \left| (x_{n+1} - x_n)(y_{n+2} - y_n) - (x_{n+2} - x_n)(y_{n+1} - y_n) \right| $$ 展開得 $$ S_n = \frac{1}{2} \left| \left(3^{n-1} + 3^{1-n}\right) \cdot 2\left(3^{n-1} - 3^{-n}\right) - \frac{3^{n-1} - 3^{1-n}}{2} \cdot 4\left(3^{n-1} + 3^{-n}\right) \right| = \frac{4}{3} $$ 即 $S_n$ 是定值 $\frac{4}{3}$。