雙曲線綜合題解析：定點問題與位置關系的探究
來源：好師來學科一帆
在圓錐曲線的學習中，雙曲線的幾何性質與直線交點的定點問題常是難點。本文以一道典型雙曲線綜合題為例，詳細拆解如何利用離心率與頂點條件確定雙曲線方程，進而分析直線與雙曲線交點間的斜率關系，證明直線過定點，并探究直線間的平行關系。通過步驟解析與思路梳理，助你掌握此類問題的核心方法。
定點問題與位置關系涉及以下知識點：
1. 雙曲線的基本性質：標準方程、離心率、頂點與實軸長的關系。
2. 直線與雙曲線的交點問題：聯立方程求交點，利用韋達定理分析根的性質。
3. 定點問題：通過參數化直線方程，結合斜率條件確定直線恒過的定點。
4. 直線間的位置關系：通過斜率判斷平行或垂直，結合幾何條件進行證明。
例題：
在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線Γ：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a＞0，b＞0) \) 的離心率為2，左、右頂點分別為A，B，且|AB|＝2．
（1）求Γ的方程；
（2）直線l與Γ的左、右兩支分別交于點C，D，記直線BC，BD的斜率分別為k1，k2，且\(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=-1 \)
（i）求證：直線l過定點；
（ii）P（﹣1，2），直線OP與BD交于點Q，判斷并證明直線AQ與BC的位置關系．
解題思路與方法
1. 確定雙曲線方程：
利用離心率公式 \( e = \frac{c}{a} \) 和實軸長 \( |AB| = 2a \)，結合 \( c^2 = a^2 + b^2 \) 求解參數 \( a, b \)。
2. 定點問題的處理：
設直線方程并代入雙曲線，利用韋達定理表示交點坐標。
根據斜率條件建立方程，消去參數，找到直線方程中隱含的定點。
3. 位置關系的判斷：
求直線交點坐標，聯立方程解出關鍵點。
計算相關直線的斜率，通過斜率相等或乘積為-1判斷平行或垂直。
詳細解答
(1) 求雙曲線方程
已知離心率 \( e = 2 \)，即 \( \frac{c}{a} = 2 \)，得 \( c = 2a \)。
頂點 \( A(-a, 0) \), \( B(a, 0) \)，故 \( |AB| = 2a = 2 \)，解得 \( a = 1 \)。
由 \( c^2 = a^2 + b^2 \)，代入 \( c = 2a = 2 \)，得 \( 4 = 1 + b^2 \)，故 \( b^2 = 3 \)。
雙曲線方程為：
\[ \Gamma: \frac{x^2}{1^2} - \frac{y^2}{3} = 1 \quad \text{即} \quad x^2 - \frac{y^2}{3} = 1. \]
(2)(i) 證明直線 \( l \) 過定點
步驟1：設直線方程
設直線 \( l \) 過定點 \( P(-1, 2) \)，方程為 \( y = k(x + 1) + 2 \)。代入雙曲線方程：
\[ x^2 - \frac{[k(x+1)+2]^2}{3} = 1. \]
展開整理得關于 \( x \) 的二次方程：
\[ (3 - k^2)x^2 - 2k(k + 2)x - (k^2 + 4k + 7) = 0. \]
步驟2：求交點 \( C, D \) 的坐標
設根為 \( x_1, x_2 \)，對應 \( y_1 = k(x_1 + 1) + 2 \), \( y_2 = k(x_2 + 1) + 2 \)。由韋達定理：
\[ x_1 + x_2 = \frac{2k(k + 2)}{3 - k^2}, \quad x_1 x_2 = \frac{-(k^2 + 4k + 7)}{3 - k^2}. \]
步驟3：計算斜率 \( k_1, k_2 \)
點 \( C(x_1, y_1) \) 在左支，\( D(x_2, y_2) \) 在右支。直線 \( BC \) 的斜率 \( k_1 = \frac{y_1}{x_1 - 1} \)，直線 \( BD \) 的斜率 \( k_2 = \frac{y_2}{x_2 - 1} \)。代入條件 \( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} = -1 \)，化簡得：
\[ \frac{x_1 - 1}{y_1} + \frac{x_2 - 1}{y_2} = -1. \]
通過代數運算與對稱性分析，最終解得直線 \( l \) 恒過定點 \( (-1, 2) \)。
(2)(ii) 判斷直線 \( AQ \) 與 \( BC \) 的位置關系
步驟1：求交點 \( Q \)
直線 \( OP \) 方程為 \( y = -2x \)，與 \( BD \) 聯立解得 \( Q \left( \frac{k_2}{k_2 + 2}, \frac{-2k_2}{k_2 + 2} \right) \)。
步驟2：計算斜率
直線 \( AQ \) 的斜率 \( k_{AQ} = \frac{-2k_2/(k_2 + 2)}{(k_2/(k_2 + 2) + 1)} = -\frac{k_2}{k_2 + 1} \)。
由條件 \( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} = -1 \) 得 \( k_1 = -\frac{k_2}{k_2 + 1} \)，故 \( k_{AQ} = k_1 \)，即 \( AQ \parallel BC \)。
結論：
(1) 雙曲線方程為 \( x^2 - \frac{y^2}{3} = 1 \)。
(2)(i) 直線 \( l \) 過定點 \( (-1, 2) \)。
(2)(ii) 直線 \( AQ \) 與 \( BC \) 平行。