數列通項公式的“魔法構造術”——待定系數法全解析
來源：好師來學科網一帆
數列通項公式是高中數學的靈魂，而構造法則是破解遞推關系的“數學魔法”。面對形如 \( a_{n+1} = pa_n + q \) 或更復雜的遞推式，如何快速構造出等比或等差數列？待定系數法正是這一過程的“核心咒語”。本文將以實戰題型為主線，揭秘構造法的底層邏輯，輔以類比和典型例題，助你輕松掌握這一高階技能！
一、基礎構造：一次線性遞推
題型特征：遞推式為 \( a_{n+1} = pa_n + q \)（\( p \neq 1 \)）。
解法思路：通過待定系數法構造等比數列。設 \( a_{n+1} + \lambda = p(a_n + \lambda) \)，展開后對比原式解出 \( \lambda \)，即可轉化為等比數列。
例題1：已知 \( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = 2a_n + 3 \)，求通項公式。
解答：
1. 設 \( a_{n+1} + \lambda = 2(a_n + \lambda) \)，展開得 \( a_{n+1} = 2a_n + \lambda \)，對比原式得 \( \lambda = 3 \)。
2. 新數列 \( \{a_n + 3\} \) 是首項為 4，公比為 2 的等比數列，故 \( a_n + 3 = 4 \cdot 2^{n-1} \)。
3. 最終通項：\( a_n = 2^{n+1} - 3 \)。
二、進階構造：含常數項的遞推
題型特征：遞推式含多項式函數，如 \( a_{n+1} = pa_n + kn + b \)。
解法思路：假設 \( a_{n+1} + \alpha(n+1) + \beta = p(a_n + \alpha n + \beta) \)，解出 \( \alpha, \beta \) 后構造等比數列。
例題2：已知 \( a_1 = 2 \)，\( a_{n+1} = 3a_n + 2n \)，求通項公式。
解答：
1. 設 \( a_{n+1} + \alpha(n+1) + \beta = 3(a_n + \alpha n + \beta) \)，展開對比得方程組：
\[ \begin{cases} 3\alpha - \alpha = 2 \\ 3\beta - \alpha - \beta = 0 \end{cases} \]
解得 \( \alpha = 1 \)，\( \beta = 0.5 \)。
2. 新數列 \( \{a_n + n + 0.5\} \) 是首項為 3.5，公比為 3 的等比數列，故 \( a_n = 3^{n} - n - 0.5 \)。
三、指數型遞推：構造等比數列
題型特征：遞推式為 \( a_{n+1} = pa_n + q^n \)。
解法思路：兩側同除以 \( p^{n+1} \)，轉化為 \( \frac{a_{n+1}}{p^{n+1}} = \frac{a_n}{p^n} + \frac{q^n}{p^{n+1}} \)，再累加求和。
例題3：已知 \( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = 2a_n + 3^n \)，求通項公式。
解答：
1. 兩邊同除 \( 2^{n+1} \)，得 \( \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{a_n}{2^n} + \left(\frac{3}{2}\right)^n \cdot \frac{1}{2} \)。
2. 累加得 \( \frac{a_n}{2^n} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left(\frac{3}{2}\right)^{k-1} \)，求和后化簡得 \( a_n = 3^n - 2^{n+1} \)。
四、分式遞推：倒數構造等差數列
題型特征：遞推式為 \( a_{n+1} = \frac{pa_n}{qa_n + r} \)。
解法思路：取倒數后設 \( b_n = \frac{1}{a_n} \)，轉化為線性遞推式。
例題4：已知 \( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n + 2} \)，求通項公式。
解答：
1. 取倒數得 \( \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{a_n} \)，即 \( b_{n+1} = b_n + \frac{1}{2} \)。
2. 數列 \( \{b_n\} \) 是首項為 1，公差為 \( \frac{1}{2} \) 的等差數列，故 \( b_n = 1 + \frac{n-1}{2} \)。
3. 還原得 \( a_n = \frac{2}{n+1} \)。
五、總結與技巧
1. 核心思想：將復雜遞推式轉化為等差或等比數列，關鍵在于“構造”新數列。
2. 口訣記憶：“系數待定找關系，構造新列破難題；分式倒數變等差，指數同除等比立”。
3. 避坑指南：務必驗證首項是否滿足構造后的通項公式，避免“分段式”陷阱。
練習鞏固：嘗試用構造法求解 \( a_{n+1} = 4a_n + 5 \cdot 2^n \)（答案：\( a_n = (a_1 + 5) \cdot 4^{n-1} - 5 \cdot 2^{n} \)）。
參考資料：綜合數列構造法的核心邏輯與例題解析，結合高考真題和模擬題訓練，助你輕松掌握這一“解題利器”！