2024年上海市中考數學試卷

一、選擇題（每題4分，共24分）

1．（4分）如果x＞y，那么下列正確的是（　　）

A．x+5≤y+5 B．x﹣5＜y﹣5 C．5x＞5y D．﹣5x＞﹣5y

2．（4分）函數的定義域是（　　）

A．x＝2 B．x≠2 C．x＝3 D．x≠3

3．（4分）以下一元二次方程有兩個相等實數根的是（　　）

A．x2﹣6x＝0 B．x2﹣9＝0 C．x2﹣6x+6＝0 D．x2﹣6x+9＝0

4．（4分）科學家同時培育了甲乙丙丁四種花，從甲乙丙丁選個開花時間最短的并且最平穩的是（　　）

A．甲種類 B．乙種類 C．丙種類 D．丁種類

5．（4分）四邊形ABCD為矩形，過A、C作對角線BD的垂線，過B、D作對角線AC的垂線．如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為（　　）

A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形

6．（4分）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，點P在ABC內，分別以ABP為圓心畫圓，圓A半徑為1，圓B半徑為2，圓P半徑為3，圓A與圓P內切，圓P與圓B的關系是（　　）

A．內含 B．相交 C．外切 D．相離

二、填空題（每題4分，共48分）

7．（4分）計算：（4x2）3＝      ．

8．（4分）計算：（a+b）（b﹣a）＝       ．

9．（4分）已知，則x＝  ．

10．（4分）科學家研發了一種新的藍光唱片，一張藍光唱片的容量約為2×105GB，一張普通唱片的容量約為25GB，則藍光唱片的容量是普通唱片的       倍．（用科學記數法表示）

11．（4分）若正比例函數y＝kx的圖象經過點（7，﹣13），則y的值隨x的增大而    .（選填“增大”或“減小”）

12．（4分）在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，則∠BAC＝    °．

13．（4分）某種商品的銷售量y（萬元）與廣告投入x（萬元）成一次函數關系，當投入10萬元時銷售額1000萬元，當投入90萬元時銷售量5000萬元．則投入80萬元時，銷售量為      萬元．

14．（4分）一個袋子中有若干個白球和綠球，它們除了顏色外都相同．隨機從中摸一個球，恰好摸到綠球的概率是，則袋子中至少有  個綠球．

15．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為對角線AC上一點，設，若AE＝2EC，則＝                 （結果用含，的式子表示）．

16．（4分）博物館為展品準備了人工講解、語音播報和AR增強三種講解方式，博物館共回收有效問卷1000張，其中700人沒有講解需求，剩余300人中需求情況如圖所示（一人可以選擇多種）．那么在總共2萬人的參觀中，需要AR增強講解的人數約有      人．

17．（4分）在平行四邊形ABCD中，∠ABC是銳角，將CD沿直線l翻折至AB所在直線，對應點分別為C′，D′，若AC′：AB：BC＝1：3：7，則cos∠ABC＝                 ．

18．（4分）對于一個二次函數y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一點P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，則稱2|x′﹣m|為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為  ．

三、簡答題（共78分，其中第19～22題每題10分，第23、24題每題12分，第25題14分）

19．（10分）計算：．

20．（10分）解方程組：．

21．（10分）在平面直角坐標系xOy中，反比例函數y＝（k為常數且k≠0）上有一點A（﹣3，m），且與直線y＝﹣2x+4交于另一點B（n，6）．

（1）求k與m的值；

（2）過點A作直線l∥x軸與直線y＝﹣2x+4交于點C，求sin∠OCA的值．

22．（10分）同學用兩幅三角板拼出了如圖的平行四邊形，且內部留白部分也是平行四邊形（直角三角板互不重疊）．

（1）若直角三角形斜邊上的高都為h，求：

①兩個直角三角形的直角邊（結果用h表示）；

②平行四邊形的底、高和面積（結果用h表示）；

（2）請畫出同學拼出的另一種符合題意的圖，要求：①不與給定的圖形狀相同；②畫出三角形的邊．

23．（12分）如圖所示，在矩形ABCD中，E為邊CD上一點，且AE⊥BD．

（1）求證：AD2＝DE?DC；

（2）F為線段AE延長線上一點，且滿足，求證：CE＝AD．

24．（12分）在平面直角坐標系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經過和B（5，0）．

（1）求平移后新拋物線的表達式；

（2）直線x＝m（m＞0）與新拋物線交于點P，與原拋物線交于點Q；

①如果PQ小于3，求m的取值范圍；

②記點P在原拋物線上的對應點為P′，如果四邊形P′BPQ有一組對邊平行，求點P的坐標．

25．（14分）在梯形ABCD中，AD∥BC，點E在邊AB上，且．

（1）如圖1所示，點F在邊CD上，且，聯結EF，求證：EF∥BC；

（2）已知AD＝AE＝1；

①如圖2所示，聯結DE，如果△ADE外接圓的圓心恰好落在∠B的平分線上，求△ADE的外接圓的半徑長；

②如圖3所示，如果點M在邊BC上，聯結EM、DM、EC，DM與EC交于N．如果∠DMC＝∠CEM，BC＝4，且CD2＝DM?DN，求邊CD的長．