深圳市 2020 年普通高中高三年級線上統一測試

數學（理科）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．已知集合A?{0，1，2，3}，B?{x|x2?2x?3?0}，則A

2．設z?2?3i，則z的虛部為

3．某工廠生產的30個零件編號為01，02，…，19，30，現利用如下隨機數表從中抽取5個進行檢

測.若從表中第1行第5列的數字開始，從左往右依次讀取數字，則抽取的第5個零件編號為

A．25B．23C．12D.07

4．記Sn為等差數列{an}的前n項和，若a2?3，a5?9，則S6為

5．若雙曲線x?y?（a?0，b?0）的一條漸近線經過點(1,?2)，則該雙曲線的離心率為

a2b21

6．已知tan???3，則sin 2(??π)?

4

7．(x?2)7的展開式中x3的系數為

x

8．函數f?x??ln | e2x?1|?x的圖像大致為

9．如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某四面體的三視圖，則該四面體的外接球表面積為

10．已知動點

（第9題圖）

在以F，F為焦點的橢圓x2?y?上，動點N在以為圓心，半徑長為|MF|

M1241M1

的圓上，則|NF2|的最大值為

11．著名數學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理．設點O，H分別是△ABC的外心、垂心，且M為BC中點，則

12．已知定義在[0π]上的函數f(x)?sin(?x?π)(??0)的最大值為?，則正實數?的取值個數

，

463

最多為

二、填空題：本大題共4小題，每小題 5 分，共20分．

?x?2y?2?0

13．若x,y滿足約束條件?x?y?1?0，則z?x?2y的最小值為        ．

?x?1

14．設數列{an}的前n項和為Sn，若Sn?2an?n，則a6???．

15．很多網站利用驗證碼來防止惡意登錄，以提升網絡安全.某馬拉松賽事報名網站的登錄驗證碼由0，1，2，…，9中的四個數字隨機組成，將從左往右數字依次增大的驗證碼稱為“遞增型

驗證碼”(如0123)，已知某人收到了一個“遞增型驗證碼”，則該驗證碼的首位數字是1的概率為．

16．已知點M(m,m?1)和點N(n,n?1)(m?n)，若線段MN上的任意一點P都滿足：經過點P的

22

所有直線中恰好有兩條直線與曲線C:y?1x2?x(?1?x?3)相切，則|m?n|的最大值為．

2

三 、 解答題： 共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考Th都必須作答．第22、23題為選考題，考Th根據要求作答．

(一 ) 必考題：共60分．

17．（本小題滿分12分）

已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，a2+b2?c2?2S.

（1）求cosC；

（2）若acosB?bsinA?c，a?，求b.

18．（本小題滿分12分）

如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形， 點M，N分別在棱C1C，

A1A上，且C1M?2MC，A1N?2NA.

1

（1）求證：NC1//平面BMD；

（2）若AA?3，AB?2AD?2，?DAB?π，A1

13

求二面角N?BD?M的正弦值.M

NC

AB

（第18題圖）

19．（本小題滿分12分）

已知以F為焦點的拋物線C:y2?2px(p?0)過點P(1,?2)，直線l與C交于A，B兩點，M為

AB中點，且OM?OP??OF.

（1）當??3時，求點M的坐標；

（2）當OA?OB?12時，求直線l的方程.

20．（本小題滿分12分）

在傳染病學中，通常把從致病刺激物侵入機體或者對機體發生作用起，到機體出現反應或開始呈現該疾病對應的相關癥狀時止的這一階段稱為潛伏期.一研究團隊統計了某地區1000名患者的相關信息，得到如下表格：

（1）   求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數x（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；

（2）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關系，以潛伏期是否超過6天為標準進行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯表.請將列聯表補充完整，并根據列聯表判斷是否有95%的把握認為潛伏期與患者年齡有關；

（3）以這1000名患者的潛伏期超過6天的頻率，代替該地區1名患者潛伏期超過6天發生的概

率，每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨立.為了深入研究，該研究團隊隨機調查了20名患者，

其中潛伏期超過6天的人數最．有．可．能．（即．概．率．最．大．）是多少？ 附：

n(ad?bc)2

K，其中nabcd.

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)

21．（本小題滿分12分）

已知函數f(x)?ex?aln(x?1).（其中常數e=2.718 28???，是自然對數的底數）

（1）若a?R，求函數f(x)的極值點個數；

（2）若函數f(x)在區間(1,1+e?a)上不單調，證明：1?1

?a.

aa?1

（二）選考題：共10分．請考Th在第22、23兩題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目．如果多做，則按所做的第一題計分．

22．（本小題滿分10分）選修4－4：坐標系與參數方程

??x??2

在直角坐標系xOy中，直線C的參數方程為

?tcos?,

（t為參數，為傾斜角），

1??y?tsin?,

以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為??4 sin?．

（1）求C2的直角坐標方程；

（2）直線C1與C2相交于E,F兩個不同的點，點P的極坐標為(23,π)，若

2EF?PE?PF，

求直線C1的普通方程．

23．（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講

已知a,b,c為正數，且滿足a?b?c?1.

（1）???9；

abc

證明：

（2）ac?bc?ab?abc?8.

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