2025年天津市三校高考數學適應性試卷

一、選擇題：本大題共9小題，每小題5分，共45分，每小題的4個選項中，只有一項是符合題目要求的，將答案涂在答題卡上．

1．（5分）已知集合，則M∩N＝（　　）

A．{5，3} B．{（5，0），（0，3）} 

C．[﹣5，5] D．?

2．（5分）“tanx＝tany”是“x＝y+2kπ（k∈Z）”的（　　）

A．充分不必要條件 

B．必要不充分條件 

C．充要條件 

D．既不充分也不必要條件

3．（5分）函數的部分圖象大致為（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

4．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各條棱長均為2，D為棱B1C1中點，則點D到直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球球心的距離是（　　）

A． B． C． D．

5．（5分）中國南北朝時期的數學著作孫子算經》卷下第二十六題，叫做“物不知數”，原文如下：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二．問物幾何？現有這樣一個相關的問題：將1到2025這2025個自然數中被5除余3且被7除余2的數按照從小到大的順序排成一列，構成一個數列，則該數列各項之和為（　　）

A．63199 B．59288 C．59287 D．59189

6．（5分）設，則（　　）

A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a

7．（5分）已知變量x，y之間的線性回歸方程為，且變量x，y之間的一組相關數據如表所示，

則下列說法正確的是（　　）

A．m＝18 

B．變量y與x是負相關關系 

C．x增加1個單位，y一定增加3個單位 

D．該回歸直線必過點（5，17）

8．（5分）已知F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，焦距為4，若過點F1且傾斜角為的直線與雙曲線的左、右支分別交于A，B兩點，，則該雙曲線的離心率為（　　）

A． B． C． D．

9．（5分）關于x的方程（2x﹣1﹣1）2﹣|2x﹣1﹣1|+k＝0，給出下列六個命題：

①存在實數k，使得方程恰有0個實根；②存在實數k，使得方程恰有1個的實根；

③存在實數k，使得方程恰有2個不同的實根：④存在實數k，使得方程恰有3個不同的實根；

⑤存在實數k，使得方程恰有4個不同的實根：⑥存在實數k，使得方程恰有5個不同的實根．

其中，真命題的個數是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．

10．（5分）在復平面內，復數z對應的點的坐標是（2，1），則i3?z＝      ．

11．（5分）在（ax﹣1）（2x﹣1）3的展開式中，若各項系數的和為0，則該展開式的x2系數為    ．

12．（5分）從4種不同顏色中選擇若干種顏色，給正四面體A﹣BCD的每條棱染色，要求每條棱只染一種顏色，且共點的棱染不同的顏色，則不同的染色方法共有    種．

13．（5分）已知隨機變量X～N（μ，σ2），Y～B（8，p），且，則p＝               ．

14．（10分）大學生甲去某企業應聘，需要進行英語和專業技能兩個項目的考核，先進行英語考核．每個項目有一次補考機會，補考不合格者被淘汰，不能進入下一個項目的考核．若每個學生英語考核合格和補考合格的概率都是，專業技能考核合格和補考合格的概率都是，每一次考試是否合格互不影響．則大學生甲不被淘汰的概率是               ；若大學生甲不放棄每次考試的機會，X表示他參加補考的次數，則X的數學期望是               ．

15．（5分）已知O為△ABC的重心，直線MN過O，交線段AB于M，交線段AC于N，其中，則12m+3n的最小值為  ．

三、解答題：本大題共5個小題，共計75分，請在解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．答案寫在答題卡的相應位置上．

16．已知角A，B，C是△ABC的內角，a，b，c分別是其對邊長，向量，，．

（1）求角A的大小；

（2）若，求b的長和△ABC的面積．

17．如圖，四邊形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，AE∥PD，AD＝PD＝2EA，F、G、H分別為PB、EB、PC的中點．

（1）求證：HG∥平面PED；

（2）求平面FGH與平面PBC夾角的大小；

（3）在線段PC上是否存在一點M，使直線FM與直線PA所成的角為45°？

18．若數列{an}滿足a1＝1，且存在正整數m，使得an為奇數時，an+1＝an+2m﹣1；an為偶數時，，稱{an}為m階跳躍數列，記d（i，j）＝|ai﹣aj|．

（1）若數列{an}為m階跳躍數列，且對任意1≤i＜j≤6，d（i，j）≠0，求m最小時d（i，j）的最大值及此時數列{an}的前2025項的和；

（2）已知m為正整數，數列{an}為2m﹣1階跳躍數列．

①求d（i，j）的所有不同值的和T．

②對任意m∈N*，m≥2，令，求證：．

19．如圖，已知：橢圓，橢圓的左、右焦點為F1，F2，一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，

（1）求雙曲線的標準方程；

（2）過橢圓左焦點F1（﹣2，0），作圓（x﹣1）2+（y+2）2＝1的切線，求切線方程．

（3）設P為（1）中雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2，與橢圓的交點分別為A，B和C，D．是否存在常數λ，使得|AB|+|CD|＝λ|AB|?|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

20．設函數．

（1）求函數f（x）在（1，f（1））處的切線方程；

（2）是否存在實數b，使得關于x的不等式g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范圍；若不存在，說明理由；

（3）證明：不等式．