2025年廣東省深圳高級中學高中園高考數學二模試卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|2x﹣3＜0}，
，則A∩B＝（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（5分）已知復數z＝a+i（a∈R），若z
4，則復數z的共軛復數
（ ）
A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i
3．（5分）已知向量
，若
∥
，則實數x＝（ ）
A．
B．4 C．
D．
4．（5分）已知高為4的圓臺存在內切球，其下底半徑為上底半徑的4倍，則該圓臺的表面積為（ ）
A．57π B．50π C．25π D．42π
5．（5分）奇函數f（x）＝2cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的單調減區間可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）若a＝log318，b＝ln（2e2），
，則a，b，c的大小關系是（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
7．（5分）隨著我國鐵路的發展，列車的正點率有了顯著的提高．據統計，途經某車站的只有和諧號和復興號列車，且和諧號列車的列次為復興號列車的列次的2倍，和諧號的正點率為0.98，復興號的正點率為0.99，今有一列車未正點到達該站，則該列車為和諧號的概率為（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.8
8．（5分）已知雙曲線C：
的右焦點為F，過F作直線分別與雙曲線的兩漸近線相交于A、B兩點，且
，
，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．
B．
C．2 D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
（多選）9．（6分）已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，下列四個命題是真命題的是（ ）
A．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β
B．若m⊥α，n∥α，則m⊥n
C．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n
D．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，則m∥n
（多選）10．（6分）隨機變量X，Y分別服從正態分布和二項分布，且X～N（3，1），Y～B（6，），則（ ）
A．E（X）＝E（Y） B．D（X）＝D（Y）
C．P（X≤1）＝P（X≥5） D．P（Y≤3）＞P（X≥4）
（多選）11．（6分）設函數f（x）的定義域為R，f（x﹣1）為奇函數，f（x+1）為偶函數，當x∈（﹣1，1]時，f（x）＝﹣x2+1，則下列結論正確的是（ ）
A．f（
）
B．f（x+7）為奇函數
C．f（x）在（6，8）上為減函數
D．方程f（x）+lgx＝0僅有6個實數解
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）已知
，則tanθ＝ ．
13．（5分）已知{an}是等差數列，{bn}是公比為2的等比數列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4，則
．
14．（5分）設函數f（x）＝2x3+ax2+bx，若f（x）的圖象過點P（1，3），且曲線y＝f（x）在（0，0）處的切線也過點P，則a＝ ．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝5，∠CBD＝60°．
（1）若
，求CD的長；
（2）若AD＝2，求cos∠ABD．
16．（15分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長為2的等邊三角形，D為AC的中點，AA1＝3，側面ACC1A1⊥底面ABC．
（Ⅰ）證明：BD⊥A1C；
（Ⅱ）當
時，求平面A1B1C與平面ABB1A1夾角的余弦值．
17．（15分）已知點
，
，A（2，﹣1），直線EM，FM相交于點M，且它們的斜率之積是
．
（1）求動點M的軌跡方程Ω；
（2）直線l與曲線Q交于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0，且
，求△PAQ的面積．
18．（17分）已知函數f（x）＝2ex
（a﹣2）x﹣4（a∈R）．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若a∈（﹣∞，2e），求函數f（x）在區間x∈（﹣∞，2]上的零點個數．
19．（17分）北湖生態公園有兩條散步路線，分別記為路線A和路線B．公園附近的居民經常來此散步，經過一段時間的統計發現，前一天選擇路線A的居民第二天選擇路線A和路線B的概率均為；前一天選擇路線B的居民第二天選擇路線A和路線B的概率分別為
和．已知居民第一天選擇路線A的概率為
，選擇路線B的概率為
．
（1）若有4位居民連續兩天去公園散步，記第二天選擇路線A散步的人數為Y，求Y的分布列及期望；
（2）若某居民每天都去公園散步，記第n天選擇路線A的概率為Pn；
（i）請寫出Pn+1與Pn（n∈N*）的遞推關系；
（ii）設Mn
4，求證：
．
